DIAMETER DAN GIRTH GRAF NILPOTEN RING MATRIKS

Abstract

Diberikan suatu graf sederhana $G$. Diameter graf $G$ merupakan jarak terbesar sebarang dua titik $u,v$ di $G$. \textit{Girth} graf $G$ adalah panjang sikel terpendek di graf $G$. Misalkan $R$ suatu ring dengan elemen satuan. $N(R)$ merupakan himpunan nilpoten di $R$. ${Z_N}(R)$ merupakan himpunan semua $x$ di $R$ dengan $xy$ nilpoten pada $R$, untuk $y$ di $R^*$. Graf nilpoten, ${\Gamma _N}(R)$, merupakan graf dengan himpunan titiknya adalah ${Z_N}{(R)^ * }$, dan dua titik yang berbeda $x,y$ bertetangga jika dan hanya jika $xy$ nilpoten di $R$. Pada tulisan ini diberikan beberapa karakterisasi terkait diameter dan \textit{girth} graf nilpoten pada ring matriks atas lapangan $F$. Diberikan lapangan $F$, diameter graf $\left( {{\Gamma _N}\left( {{M_n}\left( F \right)} \right)} \right)$ adalah $2$, untuk $n \geq 3$ dan diameter graf $\left( {{\Gamma _N}\left( {{M_2}\left( F \right)} \right)} \right)$ adalah $3$. Serta jika $F$ suatu lapangan dan $n \geq 2$, maka girth graf $\left( {{\Gamma _N}\left( {{M_n}\left( F \right)} \right)} \right)$ adalah $3$.